Free Groups, Gromov Hyperbolicity – (translated excerpt from Harpe)

Soit T un arbre simplicial muni d’une distance pour laquelle chaque arête est isométrique au segment [0,1] de la droite réelle, et pour laquelle la distance entre deus points est la borne inférieure des longueurs des chemins joignant ces points. Tout triangle de T est dégénéré au sens oú chacun de ses côtés est contenu dabs la réunion des deux autres. Un tel arbre est donc hyperbolique puisqu’il satisfait à la définition 27 avec \(\delta = 0 \)

Let T be a simplicial tree (endowed) with a distance (function) for which each edge is isometric to the segment [0,1] of the real line, and for which the distance between two points is the lower bound of the lengths of the paths joining these points. Every triangles of T is degenerate in the sense that each of its sides is contained in the union of two others. Such a tree is hyperbolic since it satisfies definition 27 with \(\delta = 0 \)

Pour entrer dans notre conception générale, il est important que la notion d’hyperbolicité soit invariante par quasi-isomeétrie. Bien que ce soit le cas, il se trouve que la démonstration de cette assertion n’est pas banale; nous las donnons au CHAPITRE 5.

To enter into our general conception, it is important that the notion of hyperbolicity is invariant by quasi-isometry. Although this is the case, it turns out that the demonstration of this is assertion is not trivial; we give them in CHAPTER 5.

29. – Théoréme. Si deux espaces métriques géodésiques sont quasi – isométriques et si l’un d’eux est hyperbolique, il en est de même de l’autre.

Le théorème justifie la définition suivante

30.- Définition. Un groupe de type fini \(\Gamma \) est hyperbolique si le graphe de Cayley défini par \(\Gamma \) and a système fini de générateurs de \(\Gamma \) est hyperbolique.

Le théorème 29 montre entre auters que le graph de Cayley \(\mathcal{G} (\Gamma, S) \) est hyperbolique pour tout système fini S de générateurs de \(\Gamma \) dès qu’il l’est pour un système particular \(S_0 \). Il montre aussi que deux groupes quasi-isométrique sont en même temps hyperboliques sont immédiats au vu numéros 4 (graphe de Cayley d’un groupe libre) et 28.

29. – Theorem. If two geodesic metric spaces are quasi-isometric and if one of them is hyperbolic, so is the other.

The theorem justifies the following definition.

30.- Definition. A finite type group \(\Gamma \) is hyperbolic if the Cayley Graph defined by \( \Gamma\ ) and a finite system of generators of \(\Gamma \) is hyperbolic.

The theorem 29 shows among others that the Cayley Graph \(\mathcal {G} (\Gamma, S ) \) is hyperbolic for all finite system S of generators of \(\Gamma \) if it is for a particular system \(S_0 \). It also shows that two quasi – isometric groups are at same time hyperbolic are immediate as seen in number 4 (Cayley graph of a free group) and 28.

31. – Proposition. Tout groupe libre est hyperbolique.

Le numéro 27 est une définition possible de l’hyperbolicité d’un espace métrique, mais ce n’est pas la définition las mieux adaptée à tous les besoins. Pour cette raison, nous donnons dès le CHAPITRE 2 plusieurs définitions équivalentes, en espérant aider ainsi le lecteur à se familiariser avec cette notion. Puis, comme les groupes libres ne suffisent pas longtemps comme illustration, nous consacrons l’essentiel du CHAPITRE 3 à l’une des principales sources d’examples, celle qui d’ailleurs a suggéré l’appellation “hyperbolique”.

31. – Proposition. Every free group is hyperbolic.

The number 27 is one possible definition of the hyperbolicity of a metic space, but this is not the definition best suited for every needs. For this reason, we give in the Chapter 2 several equivalent definition, hoping thus to help the reader to become familiar with this notion. Then, as the free groups are large enough as illustration, we dedicate the most of Chapter 3 to one of the main sources of examples, the one that also suggested the name ‘hyperbolic’.

Published by Ashani Dasgupta

Pursuing Ph.D. in Geometric Group Theory at University of Wisconsin, Milwaukee

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