ashani.dasgupta@cheenta.com

সব রেকট্যাঙ্গেল কিন্তু স্কোয়ার নয়

চারটে বাহু থাকলেই হলো না। তলায় তলায় অন্য খবর আছে।

মনে করো তোমার কাছে চল্লিশটা ইঁট আছে। প্রতিটি ইঁট এক ফুট লম্বা। তুমি একটা rectangle বানাতে চাও। কিন্তু যেমন তেমন একটা rectangle বানালে হবে না। যে চতুর্ভুজটা বানাবে তার ক্ষেত্রফল যতটা সম্ভব বড় হতে হবে।

ধরো লম্বা লম্বি ষোলো ফুট ইঁট বসালে। আড়াআড়ি বসল চার ফুট ইঁট। ক্ষেত্রফল হলো চার – ষোলো চৌষট্টি। কিন্তু যদি লম্বা লম্বি চোদ্দ ফুট ইঁট বসাও আর আড়াআড়ি ছয় ফুট করে, তাহলে ক্ষেত্রফল হবে ছয় গুণ চোদ্দো সমান চুরাশি! মানে ক্ষেত্রফল বেড়ে গেল।

ঠিক কি রকমের চতুর্ভুজ বানালে সবচে বেশি ক্ষেত্রফল ঘিরে ফেলা যায়? এই সত্যে কিন্তু অঙ্ক কষে পৌঁছানো যেতে পারে।

ধরা যাক রেকট্যাঙ্গেলটার একটা বাহু হলো x ফুট। তবে অন্য বাহু হবে 20 – x ফুট। ক্ষেত্রফল হবে $$ x(20-x) = 20x – x^2 $$

এই এক্সপ্রেশনটা আমরা একটু ঘুরিয়ে লিখব।

$$ 10^2 – (10^2 – 2 \times 10 \times x + x^2) $$

এবার কিন্তু আমরা সত্যের কাছাকাছি। ক্ষেত্রফল হচ্ছে।

$$ 100 – (10 – x)^2 $$

এই সংখ্যাটা সবসময় ১০০-র থেকে কম হবে কারণ আমরা ১০০-র থেকে একটা বর্গ সংখ্যা বিয়োগ করছি। বর্গ সংখ্যা সর্বদা পজিটিভ হয়। অতএব আমরা ১০০-র থেকে কোনো একটা পজিটিভ সংখ্যা বিয়োগ করছি। অতএব ক্ষেত্রফল ১০০-র কিছুটা কম হবে।

আমরা যেহেতু ক্ষেত্রফলের সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান চাই, অতএব, \( (10-x)^2 \) যতটা পারা যায় কমিয়ে ফেলা যাক। ভেবে দেখো x = 10 হলে \( (10-x)^2 \) মান সবচেয়ে কম হবে (০ হয়ে যাবে)। x = 10 যেই না বসিয়েছো, রেক্ট্যাঙ্গেলটা বেমালুম স্কোয়ার হয়ে গেছে!

অর্থাৎ এক গুচ্ছ rectangle-কে এবার ক্রমশ square হয়ে উঠতে দেখা যাচ্ছে মানসচক্ষে। যত আমরা ক্ষেত্রফল বাড়াচ্ছি rectangle-এর square-পনা বেড়ে চলেছে। শেষমেশ সে স্কোয়ার হয়েই যাচ্ছে। সেখানেই তার মুক্তি। সেখানেই তার ক্ষেত্রফলের উর্ধ সীমা।


Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *